USAMO 2015/2

[wangjiezhe]

四边形 $APBQ$ 内接于圆 $ω$， 满足 $∠P=∠Q=90°$ 且 $AP=AQ\lt BP$．设点 $X$ 为线段 $PQ$ 上的一个动点，直线 $AC$ 与 $ω$ 的另一个交点为 $S$（不同于点 $A$），点 $T$ 在 $\overset{\Huge\frown}{AQB}$ 上且 $XT\perp AX$．设点 $M$ 为线段 $ST$ 的中点，证明：当点 $X$ 在线段 $PQ$ 上移动时，点 $M$ 在一个圆周上移动．

[wangjiezhe]

设 $AT$ 与 $PQ$ 交于 $Y$，$SY$ 与 $XT$ 交于 $H$，$AH$ 与 $ST$ 交于 $Z$，则

$$\angle AXY \overset{m}= \frac12 \left( \overset{\Huge\frown}{AQ} + \overset{\Huge\frown}{PS} \right) = \frac12 \left( \overset{\Huge\frown}{AP} + \overset{\Huge\frown}{PS} \right) = \frac12 \overset{\Huge\frown}{AS} \overset{m}= \angle ATS$$

因此 $X$、$Y$、$S$、$T$ 共圆．
故 $\angle SYT = \angle SXT = 90\degree$，可得 $H$ 为 $\triangle AST$ 的垂心．

注意 $X、Y、Z$ 是 $\triangle AST$ 的垂足，$M$ 是 $ST$ 的中点，因此 $X$、$Y$、$Z$、$M$ 共圆，即 $\triangle AST$ 的九点圆．

设直线 $PQ$ 和 $ST$ 的交点为 $V$，则

$$VZ\cdot VM = VX \cdot VY = VS \cdot VT = VP \cdot VQ$$

因此 $P$、$Q$、$Z$、$M$ 共圆．
该圆的圆心为 $PQ$ 的垂直平分线 $AB$ 和 $ZM$ 的垂直平分线 $JK$ 的交点 $J$．注意 $JK$ 为梯形 $AZMO$ 的中位线，因此 $J$ 是 $AO$ 的中点，即是一个定点．该圆的半径 $JP$ 为定值，因此该圆为定圆，$M$ 在该圆上移动．

[wangjiezhe]

证明 $P$、$Q$、$Z$、$M$ 共圆的另外一种方法：

注意到 $(VZ;ST)=-1$，$M$ 是 $ST$ 的中点，因此 $VZ\cdot VM = VS\cdot VT = VP\cdot VQ$，故 $P$、$Q$、$Z$、$M$ 共圆．